Over intuïtie en de Hydra

Ongetwijfeld staat het verjaardagsprobleem bovenaan, tezamen met het driedeuren- of Monty Hall-probleem. Ik zal ze hier dan ook niet verder toelichten maar er eentje aan toevoegen dat zo contra-intuïtief is dat het moeilijk valt om het te geloven. ‘It begs belief’ is de gepaste Engelse uitdrukking. Ik wil het namelijk graag hebben over de Hydra, de veelkoppige mythologische slang, die de curieuze eigenschap heeft dat, als je een kop afhakt, er twee in de plaats komen. Hoe kan je ooit zo’n dier doden? 

De Griekse mythologie wil dat het Herakles gelukt is, with a little help from a friend. Iolaos, zijn neef, had als opdracht om, iedere keer als Herakles een kop had afgehakt, de wonde dicht te schroeien zodat er geen twee nieuwe koppen konden bijkomen. Heel slim gezien, maar hadden onze twee helden oneindig veel tijd ter beschikking en de nodige wiskundige kennis dan had Herakles het ook op een andere manier kunnen aanpakken zonder Iolaos en wel als volgt. 

Om het zo concreet mogelijk te houden: laat ons aannemen dat Herakles wordt geconfronteerd met een bescheiden Hydra met slechts drie koppen. In gedachten nummert hij ze : 1, 2 en 3. Hij hakt kop 1 eraf, klaar! Meteen komen er twee nieuwe bij en die nummert hij 4 en 5, de eerste getallen die nog niet zijn gebruikt. De Hydra heeft nu 4 koppen, genummerd 2, 3, 4 en 5. Volgende stap: Herakles hakt kop 2 eraf en nummert de nieuwe koppen 6 en 7. De algemene strategie is duidelijk: bij elke stap gaat de kop met het kleinste nummer eraf en worden de nieuwe koppen genummerd met de eerste getallen die nog niet werden gebruikt. Intuïtief denk je dat het uitgesloten is dat Herakles zijn opdracht ooit kan voltooien. Bij iedere stap komt er ‘netto’ toch een kop bij? En dat is volkomen juist, maar stel dat onze held de opdracht een oneindig aantal keren kan uitvoeren, wat is dan het eindresultaat? 

Om alle verwarring te vermijden, laat ik preciseren wat ik hier bedoel met ‘eindresultaat’. Wiskundig gesproken gaat het hier om limieten. Kom je in de limiet terecht, dan heb je een oneindig aantal opdrachten effectief uitgevoerd. Denk aan de rij getallen 1, 1/2, 1/3, 1/4, … , 1/n, … Als je al die getallen, een oneindig aantal dus, hebt berekend, wat is het eindresultaat? Antwoord: 0. Wat je ook verwacht want de getallen worden steeds kleiner (en niet negatief). Maar het punt is nu dat je kan bedrogen worden door die verwachting. Zoals met onze Hydra. 

Het curieuze, totaal contra-intuïtieve antwoord is namelijk: het monster is dood, geen kop staat er nog op het slangenlijf. Het argument is van een grootse eenvoud (wat de situatie in feite nog erger maakt). Stel dat na een oneindig aantal stappen, in de limiet dus, de Hydra nog een kop heeft. Dan heeft Herakles die kop onderweg ooit genummerd, stel met het nummer n. Maar dan weet hij ook precies wanneer die kop eraf is gegaan, namelijk in de n-de stap. Want de stappen en de afgehakte koppen volgen elkaar precies op. In stap 1 verdwijnt kop 1, in stap 2 kop 2 en dus in stap n kop n. Derhalve moet de Hydra koploos zijn, dus dood. 

De moraal van dit korte verhaal is dat (wiskundige) oneindigheid een prima toetssteen is om intuïties uit te testen, te beproeven en er vervolgens voorzichtig en doordacht mee om te gaan. 

Jean Paul Van Bendegem is professor emeritus aan de VUB en erevooriztter en stichtend lid van SKEPP.